Вполне нормальная ситуация - одна плата сломалась,

Цитата:
Не может же быть такое чтобы не работали 2 материнские платы.

Вполне нормальная ситуация - одна плата сломалась, другую купили дохлую.
Цитата:
Должна ли материнская плата работать без подключенного шлейфа LCD-экрана?

Не обязана. Зависит от того, как это реализовано програмно и аппаратно.
Способ проверки... Может лучше в сервис? Вы уже 1 раз съэкономили. В нормальной мастерской уже давно бы отремонтировали и все были бы счастливы.